ATAWI一次方程式

仕事・水そうの文章題 014

仕事・水そう 014　★★★

空の水そうに、A管とB管で水を入れ始めました。満水にするのに、A管だけでは20分、B管だけでは30分かかります。ところが、底の排水管（はいすいかん）が開いたままでした。この排水管は、満水の水そうを15分で空にします。入れ始めてから30分後に気づいて排水管を閉め、そのままA管とB管で満水にしました。排水管を閉めてから満水になるまでに、何分かかりましたか。

わからなくても大丈夫！ 下の「ヒントをひとつずつ見る」を押すと、「1. 図」から順に考えられるよ。

どの形式で解くか、上のボタンでえらべるよ。

✏ 答案に書く の枠が、答案（ノート）に書くこと。そのほかは解説だよ。最後に「模範答案」があるよ。

1. 図

まず図で場面をつかもう。分かっている数と、求める「？」はどれかな？

テープ図満水にする時間：A管だけ 20分＋B管だけ 30分、満水を空にする時間：排水管だけ 15分、実際の入れ方：3本で 30分＋A・Bで ？分満水にする時間A管だけ 20分B管だけ 30分満水を空にする時間排水管だけ 15分実際の入れ方3本で 30分A・Bで ？分
テープ図：量の合計や差を表す図

2. おく

求める数に、仮の名前 x をつけよう。何の x なのかが分かる1文で書くよ。答案の1行目だ！

✏ 答案に書く

排水管を閉めてから満水になるまでの時間をx分とする（満水を1とする）

ほかの置き方
  • 満水の量を60（20・30・15の最小公倍数）として、排水管を閉めてから満水になるまでの時間をx分とする

ほかの置き方でも正解だよ。x は「仮にこう決めた数」なんだ。

3. 表す

1あたり × いくつ分 で、部品を作ろう。km と m、分と時間……単位はそろっているかな？

単位をそろえる

単位はそろっているよ（分、満水を1とする）

✏ 答案に書く

  • 3本で30分のあいだにたまった水：30/20＋30/30－30/15
  • 閉めてからx分間にA管から入る水：x/20
  • 閉めてからx分間にB管から入る水：x/30

解説：部品の3つ組表（1あたり × いくつ分）

部品1あたりいくつ分式単位
3本で30分のあいだにたまった水30/20＋30/30－30/15
閉めてからx分間にA管から入る水1/20x分x/20
閉めてからx分間にB管から入る水1/30x分x/30

4. つなぐ

何と何が同じかな？ 理由が言えたら、＝でつなげるよ。

✏ 答案に書く

はじめの30分でたまった水と、閉めてから2本で入れた水を合わせると、満水の1になるので、

30/20＋30/30－30/15＋x/20＋x/30＝1

解説：「〜ので、」の部分が ＝にした理由。何と何が同じかを、場面の言葉で書こう。

解説：＝のパターン A 合計

5. 解く

てんびんの左右に同じことをしても、つり合ったままだよ。

✏ 答案に書く

  1. 30/20＋30/30－30/15＋x/20＋x/30＝1
  2. 両辺に60をかけて 90＋60－120＋3x＋2x＝60
  3. 30＋5x＝60
  4. 5x＝30
  5. x＝6

6. 確かめる

求めた x の値を、作った方程式に代入しよう。左辺と右辺は等しくなるかな？

✏ 答案に書く

x＝6 を 30/20＋30/30－30/15＋x/20＋x/30＝1 に代入すると、

左辺：30/20＋30/30－30/15＋6/20＋6/30＝1

右辺：1

左辺と右辺が等しいので、x＝6 は方程式の解である。

解説：てんびんで見ると、左辺 1 と右辺 1 でつり合っているね。

7. 解けた

仮の数だった x の値が分かって、問題が解けたね！

解説：答えを問題の場面に戻すと

はじめの30分で、A管から 30/20＝3/2、B管から 30/30＝1 入り、排水管から 30/15＝2 出るので、たまったのは 3/2＋1－2＝1/2。閉めてから6分で A管 6/20＝3/10、B管 6/30＝1/5、合わせて 1/2 入る。1/2＋1/2＝1 で満水になり、問題と合う。

✏ 答案に書く

排水管を閉めてから満水になるまでの時間は、6分である。

答え　6分

模範答案

答案（ノート）には、右側の文を上から順に書こう。色の枠 は段階の名前だから、答案には書かないよ。図や解説も書かなくて大丈夫。

  1. おく排水管を閉めてから満水になるまでの時間をx分とする（満水を1とする）。
  2. 表す3本で30分のあいだにたまった水：30/20＋30/30－30/15
    閉めてからx分間にA管から入る水：x/20
    閉めてからx分間にB管から入る水：x/30
  3. つなぐはじめの30分でたまった水と、閉めてから2本で入れた水を合わせると、満水の1になるので、
    30/20＋30/30－30/15＋x/20＋x/30＝1
  4. 解く30/20＋30/30－30/15＋x/20＋x/30＝1
    両辺に60をかけて 90＋60－120＋3x＋2x＝60
    30＋5x＝60
    5x＝30
    x＝6
  5. 確かめるx＝6 を代入すると、
    左辺：30/20＋30/30－30/15＋6/20＋6/30＝1
    右辺：1
    左辺と右辺が等しいので、x＝6 は方程式の解である。
  6. 解けた排水管を閉めてから満水になるまでの時間は、6分である。
    答え　6分

もっと見たい人へ（開くと表示されるよ）

つなぐ理由を自分の言葉で書く（「4. つなぐ」のふり返り）

自分の言葉で書くと、ぐっとわかるようになるよ。

「4. つなぐ」で、30/20＋30/30－30/15＋x/20＋x/30 と 1 を＝でつないだね。
この2つが等しいと言えるのはなぜ？ 自分の言葉で書いてみよう。

ヒント：「何」と「何」が同じなのかを、問題の場面の言葉で書こう（x や式ではなく、「○年後の父の年齢」のように）。

模範を見る

はじめの30分で差し引きたまった水と、排水管を閉めてから入れた水を合わせると、ちょうど満水になるから。

間違い探し

まちがいは、伸びる材料だよ。どこが違うか探してみよう。

この問題で起きやすいまちがいを、つまずきやすいポイントごとに並べたよ。どこが違うか考えてから開いてみよう。

ふえる・へるの取り違えつまずきやすい段階：「表す」

Aさんはこう書きました：30/20＋30/30＋30/15＋x/20＋x/30＝1　どこが違う？

なぜそう書きたくなる？排水管も水が動くので、A管・B管と同じようにたしてしまう。

どう確かめる？解くと x＝－42 で、マイナスになる。xに6を入れると、左辺は 3/2＋1＋2＋3/10＋1/5＝5 で1にならない。排水管は水を出すので、30/15 はひく。

気づくコツ：「高い・後・増える」はたす、「安い・前・減る」はひく。場面の向きを確かめよう。

等しくないものを＝でつなぐつまずきやすい段階：「つなぐ」

Aさんはこう書きました：x/20＋x/30＝1　どこが違う？

なぜそう書きたくなる？はじめの30分のあいだにたまった水を入れ忘れる。

どう確かめる？解くと x＝12。xに12を入れると、閉めてからだけで満水の1が入る。その前の30分で満水の1/2がたまっているので、あふれてしまう。はじめの30分でたまった水も合わせる。

気づくコツ：＝でつなぐ前に「何と何が同じか」を1文で言ってみよう。言えないうちは＝にしないでおこう。

つまずきやすいポイントをすべて見る

ここまで理解できている？（小学校の内容）

つまずいたら、小学校の内容に戻っても大丈夫！

この問題は、次のことが分かっていれば解けるよ。1つずつ確かめよう。自信がないものは、リンク先で復習できるよ。

小学校の復習をすべて見る

学習指導要領の項目：⑵ 文字を用いた式 ア(ｴ)／⑶ 一元一次方程式 イ(ｲ)