ATAWI一次方程式

小学校の復習 ＞ L2

小4「図形の公式」

長方形の周の長さと面積、三角形の面積、三角形の角の和の公式を使えるようになろう。

図形の文章題では、『3. 表す』で辺の長さを x で表し、『4. つなぐ』で公式（＝のパターン「E きまり」）を使って＝を作るよ。つまずきの段階では L2 にあたるんだ。

ポイント

  1. 長方形の周の長さ＝(たて＋横)×2、面積＝たて×横 だよ。
  2. 三角形の面積＝底辺（ていへん）×高さ÷2。÷2 を忘れないようにしよう。
  3. 三角形の3つの角の和はいつも180°だよ。

説明

上から順に読もう。どれも、読んだらすぐ下の「ためしてみよう」で確かめられるよ。

1まずはここから：周の長さと面積はちがうもの

周の長さは、図形のまわりを1周したときの長さだよ。たて3cm、横5cmの長方形なら、3cm、5cm、3cm、5cm をたして16cmだね。

たてと横は2本ずつあるから、(たて＋横)×2 でも求められるよ。(3＋5)×2＝16 で、さっきと同じ16cmになるね。

面積は、1辺1cmの正方形（1cm²）が何個しきつめられるかだよ。3cm×5cm の長方形には、1cm²が3列×5個＝15個入るから15cm²。長さは cm、面積は cm² と、単位もちがうんだ。

テープ図4つの辺をつなげた長さ：たて3cm＋横5cm＋たて3cm＋横5cm。合計は 16cm4つの辺をつなげた長さ合計 16cmたて3cm横5cmたて3cm横5cm

ためしてみよう：たて4cm、横6cmの長方形の、周の長さと面積はいくつかな？

答えを見る

周の長さ20cm（(4＋6)×2）、面積24cm²（4×6）

2くわしく：三角形の面積は、長方形の半分

底辺（ていへん）10cm、高さ6cmの三角形を考えよう。同じ底辺と高さの長方形（10cm×6cm＝60cm²）を作ると、三角形はそのちょうど半分になるんだ。

だから三角形の面積は 底辺×高さ÷2 で、10×6÷2＝30 で30cm²だよ。÷2 は「長方形の半分」という意味なんだね。

高さは、底辺と垂直（すいちょく）に測った長さだよ。ななめの辺の長さではないから、問題の図では直角の印がついている線を探そう。

ためしてみよう：底辺8cm、高さ5cmの三角形の面積はいくつかな？

答えを見る

20cm²（8×5÷2＝20）

3くわしく：三角形の3つの角の和は180°

どんな三角形でも、3つの角を切り取って1か所に並べると、ちょうど一直線になるよ。一直線の角は180°だから、3つの角の和はいつも180°なんだ。

2つの角が65°と70°なら、残りの角は 180－65－70＝45 で45°だよ。180から、わかっている角を順にひけばいいね。

直角三角形なら、1つの角は直角の90°だよ。だから残りの2つの角の和は 180－90＝90 で、いつも90°になるんだ。

テープ図3つの角の和：65°＋70°＋？°。合計は 180°3つの角の和合計 180°65°70°？°

ためしてみよう：直角三角形で、直角でない角の1つが38°です。もう1つの角は何度かな？

答えを見る

52°（180－90－38＝52）

4中1へのつなぎ：公式に□や x を入れると＝ができる

面積が72cm²の長方形で、たてが8cmとするよ。横を□cmとすると、公式 たて×横＝面積 から 8×□＝72 という式ができるね。□＝72÷8＝9 で、横は9cmだよ。

中1では□を x にして、8×x＝72、つまり 8x＝72 と書くんだ。公式が「何と何が等しいか」を決めてくれるから、＝のパターンでは「E きまり」にあたるよ。

図形の文章題では、わからない辺や角を x にして、公式の「どこに入るか」を見つけるのが大事なんだ。

ためしてみよう：底辺が x cm、高さが6cmの三角形の面積を、x を使った式で表すとどうなるかな？

答えを見る

x×6÷2（cm²）

例題

まず自分で考えてから、「解き方を見る」を開こう。

★☆☆ 例題1. 1辺が9cmの正方形があります。周の長さと面積を求めましょう。

解き方を見る
  1. 正方形は4つの辺が同じ長さだから、周の長さは 9×4＝36
  2. 面積は 1辺×1辺 だから、9×9＝81
  3. 長さは cm、面積は cm² で答えよう。

答え　周の長さ36cm、面積81cm²

ここがポイント：正方形は、たてと横が同じ長方形だと考えれば、長方形の公式がそのまま使えるよ。

★★☆ 例題2. 面積が96cm²で、たてが8cmの長方形があります。この長方形の周の長さを求めましょう。

解き方を見る
  1. 周の長さを出すには横が必要だね。たて×横＝面積 だから、8×□＝96
  2. □＝96÷8＝12 で、横は12cm
  3. 周の長さは (8＋12)×2＝40

答え　40cm

ここがポイント：求めたいものに足りない辺があれば、先に別の公式からその辺を求めよう。

★★★ 例題3. 二等辺三角形（にとうへんさんかっけい）の3つの角のうち、2つの角は等しく、残りの1つの角は40°です。等しい2つの角は、それぞれ何度ですか。

解き方を見る
  1. 3つの角の和は180°だから、等しい2つの角の和は 180－40＝140
  2. 2つの角は同じ大きさだから、140÷2＝70
  3. 確かめ：40＋70＋70＝180 で合っているよ。等しい角を□°とすると、40＋□＋□＝180 と書けるね。

答え　70°と70°

ここがポイント：「等しい角」は同じ□で表せる。中1では同じ x を2回使う式になるよ。

まちがえやすいところ

まちがいは、伸びる材料だよ。どこでまちがえやすいか、先に知っておこう。

こうしてしまいがち：底辺10cm、高さ6cmの三角形の面積を 10×6＝60 で 60cm² とする。

なぜ？長方形の面積の公式と、三角形の面積の公式がまざってしまうからだよ。

こう直そう：三角形は、同じ底辺と高さの長方形のちょうど半分だったね。図に長方形をかき足して、半分になっているか見よう。10×6÷2＝30 で30cm²だよ。

こうしてしまいがち：たて7cm、横5cmの長方形の周の長さを 7＋5＝12 で 12cm とする。

なぜ？図に見えている、たてと横の2本の辺だけをたしてしまうからだよ。

こう直そう：指で4つの辺をなぞって数えてみよう。たても横も2本ずつあるから、(7＋5)×2＝24 で24cmだね。

こうしてしまいがち：底辺6cm、ななめの辺5cm、高さ4cmの三角形の面積を 6×5÷2＝15 で 15cm² とする。

なぜ？図に書いてある長さのうち、目についた辺の長さを「高さ」だと思ってしまうからだよ。

こう直そう：高さは、底辺と垂直（直角の印がある線）の長さだよ。この三角形の高さは4cmだから、6×4÷2＝12 で12cm²になるね。

練習問題

「基本」から順に解こう。つまったら「ヒント」、解けたら「答えと解き方」で確かめよう。

基本（5問）

基本 1. たて6cm、横11cmの長方形の面積は何cm²ですか。

ヒント

長方形の面積は たて×横 だよ。

答えと解き方

66cm²

  1. 面積＝たて×横 だから、6×11＝66
  2. 面積の単位は cm² だね。

基本 2. たて9cm、横14cmの長方形の周の長さは何cmですか。

ヒント

周の長さは (たて＋横)×2 だよ。×2 を忘れずに。

答えと解き方

46cm

  1. たて＋横＝9＋14＝23
  2. たても横も2本ずつあるから、23×2＝46

基本 3. 底辺が16cm、高さが5cmの三角形の面積は何cm²ですか。

ヒント

底辺×高さ を計算したら、最後に ÷2 をしよう。

答えと解き方

40cm²

  1. 底辺×高さ＝16×5＝80
  2. 三角形は長方形の半分だから、80÷2＝40

基本 4. 直角二等辺三角形（ちょっかくにとうへんさんかっけい）の、等しい2つの角は、それぞれ何度ですか。

ヒント

1つの角は直角の90°だよ。残りの2つの角は同じ大きさだね。

答えと解き方

45°

  1. 直角の角は90°だから、残りの2つの角の和は 180－90＝90
  2. 2つは等しいから、90÷2＝45
  3. 確かめ：90＋45＋45＝180

基本 5. 1辺が12cmの正方形の周の長さは何cmですか。

ヒント

正方形は4つの辺の長さが同じだよ。

答えと解き方

48cm

  1. 4つの辺がどれも12cmだから、12×4＝48

練習（4問）

練習 1. 周の長さが34cmの長方形があります。たてが6cmのとき、横は何cmですか。

ヒント

たて＋横 は、周の長さの半分だよ。

答えと解き方

11cm

  1. 周の長さ＝(たて＋横)×2 だから、たて＋横＝34÷2＝17
  2. 横＝17－6＝11
  3. 確かめ：(6＋11)×2＝34

練習 2. 面積が84cm²の三角形があります。底辺が12cmのとき、高さは何cmですか。

ヒント

÷2 をもどすと、底辺×高さ＝84×2 になるよ。

答えと解き方

14cm

  1. 底辺×高さ÷2＝84 だから、底辺×高さ＝84×2＝168
  2. 高さ＝168÷12＝14
  3. 確かめ：12×14÷2＝84

練習 3. たて5m、横8mの長方形の花だんの中に、たて2m、横3mの長方形の池があります。池をのぞいた花だんの面積は何m²ですか。

ヒント

花だん全体の面積から、池の面積をひこう。

答えと解き方

34m²

  1. 花だん全体は 5×8＝40
  2. 池は 2×3＝6
  3. 池をのぞくと 40－6＝34

練習 4. 周の長さが60cmの正方形があります。この正方形の面積は何cm²ですか。

ヒント

まず1辺の長さを求めよう。正方形は4つの辺が同じだね。

答えと解き方

225cm²

  1. 1辺の長さは 60÷4＝15
  2. 面積は 15×15＝225

中1へのかけ橋（3問）

中1へのかけ橋 1. たて x cm、横12cmの長方形があります。面積と周の長さを、それぞれ x を使った式で表しましょう。面積の式は、×の記号を省いて書きましょう。

ヒント

x を□だと思って、いつもの公式に入れてみよう。

答えと解き方

面積 12x（cm²）、周の長さ (x＋12)×2（cm）

  1. 面積＝たて×横 だから、x×12＝12x（cm²）
  2. 周の長さ＝(たて＋横)×2 だから、(x＋12)×2（cm）
  3. 公式に x を入れるだけで、中1の『3. 表す』の部品になるよ。

中1へのかけ橋 2. 三角形の3つの角が、50°、x°、75°です。3つの角の和の関係を x を使った式に表し、x を求めましょう。

ヒント

3つの角の和は180°だから、「3つをたす＝180」の式になるよ。

答えと解き方

式 50＋x＋75＝180、x＝55

  1. 3つの角の和は180°だから、50＋x＋75＝180
  2. x＝180－50－75＝55
  3. 確かめ：50＋55＋75＝180

中1へのかけ橋 3. たてが横より4cm短い長方形があります。横を x cmとするとき、たての長さと周の長さを、それぞれ x を使った式で表しましょう。

ヒント

「4cm短い」は4をひくことだよ。横が10cmならたては何cmかな？

答えと解き方

たて x－4（cm）、周の長さ (x－4＋x)×2（cm）

  1. 横が10cmならたては6cm。10から4をひいているから、たては x－4 cm
  2. 周の長さ＝(たて＋横)×2 だから、(x－4＋x)×2 cm
  3. 中1では、これが問題にある周の長さと等しい、という＝を作るよ。

確認問題

最後に、この単元ができるようになったか確かめよう。自分で解いてから、「答えを見る」を開こう。

1. 底辺が12cm、高さが7cmの三角形の面積は何cm²ですか。

ヒント

12×7 を計算したら、最後に ÷2 をしよう。

答えを見る

42cm²

2. 三角形の2つの角の大きさが48°と75°です。残りの角は何度ですか。

ヒント

3つの角の和は180°だから、180から2つの角をひこう。

答えを見る

57°

3. 周の長さが50cmの長方形があります。横はたてより5cm長いです。たてを x cmとして、たてと横の長さを求めましょう。

ヒント

周の長さ＝(たて＋横)×2 だから、たて＋横＝50÷2＝25cm になるね。

答えを見る

たて10cm、横15cm（式 (x＋x＋5)×2＝50）

この単元を使う中1の問題

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