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小6「比」

比の値を求めたり、比例式（ひれいしき）a：b＝c：d を「外側の積＝内側の積」で解いたりできるようになろう。

中1では「x：350＝2：5」のような比例式を解くよ。『4. つなぐ』で2つの比を＝でつなぐとき（F 比のパターン）と、『5. 解く』で外側の積＝内側の積を使うときに必要なんだ。

ポイント

a：b の比の値は a÷b。比の値が等しい2つの比は、等しい比だよ。
比の両方に同じ数をかけても、同じ数でわっても、比は等しいままだよ。
a：b＝c：d なら、外側の積＝内側の積（a×d＝b×c）になるよ。

説明

上から順に読もう。どれも、読んだらすぐ下の「ためしてみよう」で確かめられるよ。

1. まずはここから：比は「いくつ分」でくらべる書き方

紅茶と牛乳を「3：2」で混ぜる、というのは、同じ大きさの「1つ分」を決めて、紅茶を3つ分、牛乳を2つ分にすることだよ。3：2 は「さんたいに」と読むんだ。

1つ分を40mLにすると、紅茶は 40×3＝120mL、牛乳は 40×2＝80mL になるね。1つ分を50mLにすれば、150mL と 100mL だよ。量が変わっても「3つ分と2つ分」の関係は同じなんだ。

a：b の「比の値」は a÷b だよ。3：2 の比の値は 3÷2＝1.5（分数なら 3/2）で、紅茶が牛乳の1.5倍ということを表しているね。

ためしてみよう：赤い花と白い花を 5：4 の本数の比で花たばにします。1つ分を3本にすると、赤い花は何本ですか。

答えを見る

15本（3×5＝15）

2. くわしく：両方に同じ数をかけても、わっても、比は等しい

3：2 の両方に2をかけると 6：4、両方に10をかけると 30：20 だよ。どれも比の値は1.5 で同じだから、「等しい比」なんだ。

反対に、両方を同じ数でわってもいいよ。24：36 は、両方を12でわると 2：3 になるね。これを「できるだけ小さい整数の比にする」というよ。

小数の比は、両方に10をかけると整数になるよ。0.6：0.9 は ×10 で 6：9、さらに3でわって 2：3 だね。気をつけたいのは、両方に同じ数を「たす」「ひく」と等しい比にならないことだよ。

ためしてみよう：45：60 を、できるだけ小さい整数の比にしましょう。

答えを見る

3：4（両方を15でわる）

3. くわしく：片方が分かったら、何倍かを見る・外側と内側をかける

3：5＝□：35 の□を求めてみよう。5 が 35 になるのは7倍だね。等しい比は両方に同じ数をかけたものだから、□も 3×7＝21 だよ。

もう1つの方法が「外側の積＝内側の積」だよ。3：5＝□：35 なら、外側の積は 3×35＝105、内側の積は 5×□ だね。この2つが等しいから 5×□＝105 で、□＝105÷5＝21 と求められるよ。これは中1で比例式を解くときに使うやり方だよ。何倍かが見つけにくいときは、この方法が役に立つよ。

比の問題では、何と何の比かを、同じ順番で並べることが大切だよ。「A：B＝3：5」なら、右がわも「Aの量：Bの量」の順に書こう。

ためしてみよう：4：7＝□：63 の□にあてはまる数を求めましょう。

答えを見る

36（7→63 は9倍なので 4×9＝36。外側 4×63＝252、内側 7×36＝252）

4. 中1へのつなぎ：全体を分ける場面を□やxで書く

お菓子35個を、姉と妹で 4：3 に分けてみよう。全体は 4＋3＝7つ分だから、1つ分は 35÷7＝5個。姉は 5×4＝20個、妹は 5×3＝15個だね。

中1では、姉の個数を x 個とおくよ。すると妹は、全体から姉の分をひいた (35－x) 個だね。2人の比が 4：3 だから、x：(35－x)＝4：3 という比例式（ひれいしき）が書けるよ。

x に20を入れると、20：15 で、両方を5でわると 4：3 になるね。比例式は、中1の『4. つなぐ』で「F 比」のパターンとして使うんだ。

ためしてみよう：1000円を姉と妹で 3：2 に分けます。姉の金額を x 円として比例式を書きましょう。また、姉は何円ですか。

答えを見る

x：(1000－x)＝3：2、姉は600円（1つ分は 1000÷5＝200円）

例題

まず自分で考えてから、「解き方を見る」を開こう。

★☆☆ 例題1. 水そうAには2.4L、水そうBには3.2Lの水が入っています。AとBの水の量の比を、できるだけ小さい整数の比で表しましょう。また、その比の値を求めましょう。

解き方を見る

水の量の比は、A：B＝2.4：3.2 だね。
小数の比は、両方に10をかけて 24：32 にしよう。
24と32の両方をわり切れる一番大きい数は8だよ。24÷8＝3、32÷8＝4 で 3：4 になるね。
比の値は 3÷4＝0.75、分数で書くと 3/4 だよ。2.4÷3.2 を計算しても0.75 で同じになるね。

答え　3：4（比の値は0.75、分数で 3/4）

ここがポイント：小数の比は整数に直してからわろう。等しい比は比の値も等しいから、比の値で確かめられるよ。

★★☆ 例題2. ホットケーキを作るのに、粉と牛乳を 5：4 の重さの比で混ぜます。粉を200g使うとき、牛乳は何g使いますか。

解き方を見る

粉：牛乳＝5：4＝200：□ と、同じ順番で書こう。
5 が 200 になるのは40倍だから、□は 4×40＝160 だよ。
確かめ：外側の積 5×160＝800、内側の積 4×200＝800 で等しいね。

答え　160g

ここがポイント：比を書くときは、左と右で「何：何」の順番をそろえよう。

★★★ 例題3. 長さ1.8mのリボンを、姉と妹で 5：4 の長さの比に分けます。姉と妹のリボンは、それぞれ何cmですか。

解き方を見る

答えを cm で聞かれているので、1.8m＝180cm にそろえよう。
全体は 5＋4＝9つ分だから、1つ分は 180÷9＝20cm だね。
姉は 20×5＝100cm、妹は 20×4＝80cm だよ。
確かめ：100＋80＝180cm、100：80 を20でわると 5：4 だね。

答え　姉100cm、妹80cm

ここがポイント：全体を分けるときは、比の数をたした「全体のいくつ分」で全体をわろう。

まちがえやすいところ

まちがいは、伸びる材料だよ。どこでまちがえやすいか、先に知っておこう。

こうしてしまいがち：兄と弟のカードの枚数の比が 5：3 で、弟が24枚のとき、5：3＝24：□ と書いて□を求めてしまう。

なぜ？問題に出てきた数を、出てきた順に並べてしまうからだね。これだと左は「兄：弟」、右は「弟：兄」になって、順番がずれているんだ。

こう直そう：書く前に「兄：弟」と言葉を添えよう。兄：弟＝5：3＝□：24 なら、3→24 は8倍で、□は 5×8＝40枚だよ。兄のほうが多い比なのに兄が弟より少なくなったら、順番を見直そう。

こうしてしまいがち：1：2 の両方に3をたして 4：5 にし、「等しい比」だと考えてしまう。

なぜ？「両方に同じことをすれば等しい」と覚えていて、かけ算・わり算とたし算・ひき算を区別していないからだね。

こう直そう：比の値で確かめよう。1：2 は 1÷2＝0.5、4：5 は 4÷5＝0.8 で、ちがうね。等しい比を作れるのは、両方に同じ数を「かける」か「わる」ときだけだよ。

こうしてしまいがち：60個のあめを 2：3 に分けるとき、60÷3＝20 を1つ分にしてしまう。

なぜ？比の数のどちらか1つだけを見て、全体をわってしまうからだね。

こう直そう：全体は 2＋3＝5つ分だよ。1つ分は 60÷5＝12個で、24個と36個に分かれるね。2つを合わせて60個にもどるかを確かめよう。

練習問題

「基本」から順に解こう。つまったら「ヒント」、解けたら「答えと解き方」で確かめよう。

基本（5問）

基本 1. 20：35 を、できるだけ小さい整数の比にしましょう。

ヒント

20と35を、どちらもわり切れる同じ数でわろう。

答えと解き方

4：7

20と35は、どちらも5でわり切れるね。
20÷5＝4、35÷5＝7 だから 4：7 だよ。

基本 2. 7：4 の比の値を求めましょう。

ヒント

a：b の比の値は a÷b だよ。

答えと解き方

1.75（7/4）

比の値は 7÷4 だね。
7÷4＝1.75 だよ。分数で書くと 7/4 だね。

基本 3. 3：8＝□：40 の□にあてはまる数を求めましょう。

ヒント

8が40になるのは何倍かな。

答えと解き方

8→40 は5倍だね。
だから□は 3×5＝15 だよ。
確かめ：外側 3×40＝120、内側 8×15＝120 で等しいね。

基本 4. 1.2：0.8 を、できるだけ小さい整数の比にしましょう。

ヒント

まず両方に10をかけて整数にしよう。

答えと解き方

3：2

両方に10をかけると 12：8 だね。
12と8を4でわると 3：2 だよ。

基本 5. 公園で遊んでいる子どものうち、男子は12人、女子は15人です。男子と女子の人数の比を、できるだけ小さい整数の比で表しましょう。

ヒント

男子：女子＝12：15 から始めよう。

答えと解き方

4：5

男子：女子＝12：15 だね。
両方を3でわると 4：5 だよ。

練習（4問）

練習 1. 青と白の絵の具を 2：7 の量の比で混ぜます。白は青より35mL多く使います。青は何mL使いますか。

ヒント

白と青のちがいは、比でいうと 7－2 で何つ分かな。

答えと解き方

14mL

白と青のちがいは 7－2＝5つ分だね。
5つ分が35mL だから、1つ分は 35÷5＝7mL だよ。
青は2つ分なので 7×2＝14mL。白は 7×7＝49mL で、49－14＝35mL 多いね。

練習 2. 縦と横の長さの比が 3：5 の旗があります。横の長さが1.2mのとき、縦の長さは何cmですか。

ヒント

答えは cm で聞かれているので、1.2m を cm に直してから考えよう。

答えと解き方

72cm

1.2m＝120cm だね。
縦：横＝3：5＝□：120 で、5→120 は24倍だよ。
□は 3×24＝72 だから、72cm だね。

練習 3. 画用紙90枚を、1組と2組で 4：5 の枚数の比に分けます。1組は何枚になりますか。

ヒント

全体は 4＋5 で何つ分かな。

答えと解き方

40枚

全体は 4＋5＝9つ分だね。
1つ分は 90÷9＝10枚だよ。
1組は 10×4＝40枚。2組は50枚で、合わせて90枚になるね。

練習 4. 赤いテープは45cm、青いテープは1.2mです。赤と青のテープの長さの比を、できるだけ小さい整数の比で表しましょう。

ヒント

比べる前に、単位を cm にそろえよう。

答えと解き方

3：8

1.2m＝120cm だから、赤：青＝45：120 だね。
両方を15でわると 3：8 だよ。

中1へのかけ橋（3問）

中1へのかけ橋 1. 砂糖と牛乳を 1：8 の重さの比で混ぜます。牛乳は砂糖より350g多くします。砂糖を x g として、砂糖と牛乳の比例式（ひれいしき）を書き、x を求めましょう。

ヒント

牛乳は砂糖より350g多いから、x＋350 g と表せるよ。

答えと解き方

式：x：(x＋350)＝1：8、x は50（砂糖50g）

牛乳は (x＋350) g だから、砂糖：牛乳＝x：(x＋350)＝1：8 だね。
牛乳と砂糖のちがいは 8－1＝7つ分で、これが350g だよ。
1つ分は 350÷7＝50 だから、x は50。確かめ：50：400 を50でわると 1：8 だね。

中1へのかけ橋 2. チューリップの球根48個を、花だんAと花だんBに 3：5 の個数の比で分けて植えます。花だんBの個数を x 個とするとき、花だんAの個数を x を使って表しましょう。また、AとBの個数の比例式を書きましょう。

ヒント

Aの個数は、全体の48個からBの分をひいたものだよ。比は「A：B」の順に書こう。

答えと解き方

Aは (48－x) 個、比例式は (48－x)：x＝3：5（Bは30個）

花だんAの個数は 48－x 個だね。
A：B＝3：5 だから、(48－x)：x＝3：5 と書けるよ。
全体は8つ分で、1つ分は 48÷8＝6個。Bは 6×5＝30個、Aは18個だね。

中1へのかけ橋 3. 縮尺（しゅくしゃく）1：25000 の地図で、8cmの長さは実際には何mですか。実際の長さを x cm として比例式を書いて求めましょう。

ヒント

縮尺 1：25000 は「地図の長さ：実際の長さ」だよ。右がわも同じ順に書こう。

答えと解き方

式：1：25000＝8：x、x は200000（実際は2000m）

地図：実際＝1：25000＝8：x だね。
1→8 は8倍だから、x は 25000×8＝200000 だよ。
200000cm は、100でわって2000m だね（2km）。

確認問題

最後に、この単元ができるようになったか確かめよう。自分で解いてから、「答えを見る」を開こう。

1. 赤いビーズが12個、青いビーズが18個あります。赤と青の個数の比を、できるだけ小さい整数の比で表しましょう。また、その比の値を求めましょう。

ヒント

12と18を、どちらもわり切れる同じ数（6）でわってみよう。

答えを見る

2：3（比の値は2/3）

2. 麦茶のもとと水を 3：5 の割合で混ぜます。水を400mL使うとき、麦茶のもとは何mL必要ですか。

ヒント

3：5＝□：400 として、外側の積＝内側の積を使ってみよう。

答えを見る

240mL

3. 図書室の本は、物語と図鑑（ずかん）の冊数の比が 7：2 です。図鑑が360冊のとき、物語を x 冊として比例式を作り、x を求めましょう。

ヒント

外側の積は x×2、内側の積は 360×7 だよ。

答えを見る

1260冊（式：x：360＝7：2）

この単元を使う中1の問題

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